Serie “Lógica y argumentación”: Leyes de De Morgan

Existen muchas formas de hacer inferencias válidas. Las reglas de inferencia son también llamadas “reglas de transformación”. Estas reglas son funciones sintácticas que, dados algunos elementos de inicio, derivan en una salida a dicha función. Estas reglas son indiferentes al contenido semántico de cada una de las entradas de dicha función. Aunque, si bien el contenido semántico codifica cierto valor de verdad, dicho contenido es irrelevante a final de cuentas, así como que el valor de verdad asumido sea verdadero en realidad. La función de la regla de inferencia se mantiene, indiferentemente de cuáles sean estos, siempre que los mismos se presenten.

Un subconjunto de las reglas de inferencia son las llamadas “reglas de reemplazo” o “reglas de sustitución”. Estas nos permiten sustituir ciertos enunciados por otros lógicamente equivalentes, y por ende, igualmente veritativo-funcionales, pues gracias a esto último es que podemos aplicar las reglas de inferencia. Una de estas reglas, que es poco utilizada entre los debatientes comunes (e incluso entre los profesionales), es conocida como las “Leyes de De Morgan”. Los que nos dedicamos a la ingeniería informática e ingeniería electrónica conocemos bastante bien estas leyes, debido a que son cotidianamente utilizadas, por ejemplo, a la hora de diseñar circuitos electrónicos o compuertas lógicas para software.

Estas leyes son, básicamente, dos:
  • La negación de una conjunción de elementos es igual a la disyunción de los elementos negados.
  • La negación de una disyunción de elementos es igual a la conjunción de los elementos negados.
¿Suena complicado? Ciertamente lo es, aunque no tanto. En breve explicaré un poco más sobre esto. Para empezar, entendamos una cosa: Estas leyes pueden ser expresadas en diferentes notaciones, según la rama del conocimiento que haga uso de las mismas. Sin embargo, todas estas notaciones son equivalentes. Podemos encontrar el uso de las leyes de De Morgan en las matemáticas, la electrónica y la informática. Es decir, es un patrimonio del STEM. A posteriori es posible usarla de forma filosófica en debates formales (e informales), pero debido a que estas reglas son propias de la lógica matemática, está más cerca de la ciencia que de la filosofía (tomando en cuenta que la matemática puede ser clasificada en el grupo de las “ciencias básicas”, junto con la física, química y biología).

Estas leyes fueron creadas por Augustus De Morgan, un matemático británico que vivió en el siglo XIX. Estas leyes fueron incluidas en el álgebra de Boole, y desde entonces son clave para el avance de la tecnología, pues las mismas pueden ser aplicadas para los procesos de simplificación de compuertas lógicas, lo que permite la reducción del tamaño de las mismas, y con ello, la miniaturización de los componentes y equipos electrónicos.

Como hemos dicho, las leyes de De Morgan tienen aplicación en diferentes ramas del STEM. En cada una de ellas se maneja una notación diferente de símbolos y signos mediante la cual representar esta ley. Veamos ahora estas notaciones para empezar nuestro análisis:


Bien, ahora que ya tenemos una comparativa de las distintas notaciones, podremos entender mejor las leyes de De Morgan. Cuando decimos “la negación de una conjunción de elementos es igual a la disyunción de los elementos negados”, podemos entenderlo de la siguiente manera:

          – (A . B) = –A + –B

Cuando decimos “la negación de una disyunción de elementos es igual a la conjunción de los elementos negados”, podemos entenderlo de la siguiente manera:

          – (A + B) = –A . –B



DIFERENCIAS CON EL ÁLGEBRA TRADICIONAL

Como queda claro, esto se ve diferente del álgebra de toda la vida, el que aprendimos en la escuela. Y sí, es diferente. El álgebra booleana tiene unas reglas que no son iguales a las del álgebra tradicional, pero que sin embargo pueden ser probadas sin lugar a dudas. De hecho, la prueba más clara es que ahora mismo estén leyendo este texto en un dispositivo electrónico, sea su PC, su celular, etc.


Con la tabla de equivalencia de notaciones, pueden reemplazar los símbolos, unos por otros, y así comprender cómo en cada rama del conocimiento de expresan estas leyes. Veamos ahora cómo se expresan en cada una de estas ramas.



NOTACIÓN MATEMÁTICA EN ÁLGEBRA BOOLEANA

En el álgebra de Boole, podemos expresar las leyes de De Morgan de la siguiente manera:


Esto se lee de la forma que ya mencionamos:
  • La negación de una conjunción de elementos es igual a la disyunción de los elementos negados.
  • La negación de una disyunción de elementos es igual a la conjunción de los elementos negados.


NOTACIÓN MATEMÁTICA EN TEORÍA DE CONJUNTOS

En teoría de conjuntos, podemos expresar las leyes de De Morgan de la siguiente manera:


En este caso, tenemos un A negado y un B negado. Es decir, del conjunto universal U, debemos excluir el resultado de las operaciones que hagamos con A y B. Por ende, esta es una operación de diferencia de conjuntos, en el cual encontraremos el complemento adecuado. En este caso, podemos leer:
  • La negación (complemento) del conjunto unión entre A y B, es equivalente al conjunto intersección del complemento de A y el complemento de B.
  • La negación (complemento) del conjunto intersección entre A y B, es equivalente al conjunto unión del complemento de A y el complemento de B.

Para entenderlo mejor, echaré mano de algunas imágenes:


Como vemos aquí, la primera ley de De Morgan nos dice que el resultado es aquello que no está dentro del conjunto unión entre A y B. Es decir, el resultado es todo aquello que no está en el conjunto A, y que tampoco está en el conjunto B. En otras palabras, todo lo azul.


Vayamos a la siguiente ley:


Como vemos aquí, la segunda ley de De Morgan nos dice que el resultado es aquello que no está dentro del conjunto intersección entre A y B. Es decir, el resultado es todo aquello que no está en el conjunto A, así como lo que no está en el conjunto B.

A primera vista puede ser un poco complicado comprenderlo, Sin embargo, el truco está en no intentar hacer las coincidencias entre los conjuntos, sino entre los espacios que no lo son. Imaginen un conjunto “No-A” como el conjunto externo a A. Es decir, todo lo azul que queda afuera de A. Lo mismo pasa con el conjunto “No-B”, es simplemente todo lo azul que queda fuera de B. Es sobre esos sobrantes azules que debemos trabajar, no sobre lo sombreado con amarillo, es decir, no debemos considerar directamente los elementos de A y B.



NOTACIÓN PARA COMPUERTAS LÓGICAS (ELECTRÓNICA E INFORMÁTICA)

En informática y electrónica, se usan las leyes de De Morgan para diseñar circuitos y reglas que el software debe seguir, a fin de tener un funcionamiento predecible y adecuado. En estas disciplinas, la notación es la siguiente:


Las representaciones gráficas señaladas al principio se usan como complemento visual e indispensable, siendo en la práctica dichas representaciones, la notación por defecto usada en estas carreras.



¿QUÉ SIGNIFICA TODO ESTO?

Para todos los efectos, esto tiene un resultado curioso. Tomemos como ejemplo la siguiente proposición:

             No tengo dinero ni nada que dar (♫ lo único que tengo es amor para amar ♫).

Gracias a las leyes de De Morgan, podemos convertir esto en lo siguiente:

             No tengo dinero o no tengo nada que dar.

O por ejemplo, cambiar "No tiene talento ni pasión", por "No tiene talento o no tiene pasión".

Aunque pueda parecer raro, las leyes de De Morgan son reglas de inferencia válidas, y sobre todo, con comprobación matemática y física, por lo cual dudar de ellas es inválido. Así, solo queda aceptar estas inferencias, que a primera vista podrían parecer extrañas y erróneas, pero que sin embargo, a la luz de estas leyes, no lo son.



ERRORES TÍPICOS POR NO USAR (O NO SABER USAR) LAS LEYES DE DE MORGAN

Para todos los efectos, esto tiene un resultado curioso: Podemos desgranar una proposición negativa en bloque, y refutarla objetando los términos separados del equivalente de De Morgan. Por ejemplo, si se sostiene que “No (A y B)”, puedo refutar esa proposición refutando solamente “No A” o “No B”. Puedo refutar automáticamente las objeciones a “No (A y B)” que se basen en sostener que es necesaria la validez de “No A” y “No B” a la vez. Puedo aplicar las leyes de De Morgan en ejemplos positivos usando la doble negación. Se pueden hacer muchas cosas que muy pocos piensan.

Tomemos como ejemplo el siguiente texto de la página de Dante Urbina, un apologista religioso peruano. El contexto es el siguiente: Un creyente expone a Dante las refutaciones a las objeciones teístas respecto a la paradoja de la omnipotencia, en busca de una respuesta. Urbina sostiene, como muchos otros creyentes, que su dios es omnipotente (y por ende, que la paradoja es inválida), esencialmente, porque su dios no puede hacer lo lógicamente imposible ni actuar contra su propia naturaleza (que es la omnipotencia, entre otras cosas). De ser ciertas las refutaciones que expone el ateo al que cita dicho creyente (un ateo al que conozco, por cierto), las objeciones a la paradoja de la omnipotencia serían inválidas, pues lo que se sigue de la postura creyente es que el hombre resultaría siendo también omnipotente. El tema de la diferencia de poder, a este respecto, es irrelevante, por algo muy simple: En caso las características antes señaladas no fueran exclusivas de dicha divinidad, las mismas no se podrían usar para sostener a dicho dios como omnipotente, y por ende, el poder pasaría a un segundo plano, a ser una simple medida de una característica adicional entre seres con iguales características básicas. Así, dicho dios sería casi que un humano con un plus. En nada diferente a los dioses ónticos como Zeus o Ra.


Dante Urbina intenta refutar las objeciones presentadas por el ateo, que estriban en que los humanos también cumplen con esas características. Es decir, el ateo hizo suyas las características que Urbina señalaba exclusivas para su dios, debido a que Urbina no presenta pruebas de que las mismas solo le sean aplicables a su deidad. De hecho, la experiencia nos dice que lo que sostiene el ateo es cierto: Los seres humanos tampoco podemos hacer lo lógicamente imposible, según nuestra propia naturaleza, y por ende, tampoco actuar contra la misma. Urbina acusa al ateo de confundir “Poder hacer todo lo lógicamente posible” con “No poder hacer lo lógicamente imposible”. Pero esa confusión solo está en la cabeza de Urbina, no en los alegatos del ateo en cuestión, por lo que podemos decir con bastante certeza que Urbina está cometiendo una falacia de hombre de paja. Y al acusar a dicho ateo de hombre de paja, está cometiendo un sofisma de la falacia (falsa acusación de falacia). Parece olvidar que “Poder hacer todo lo lógicamente posible” y “No poder hacer lo lógicamente imposible” son proposiciones equivalentes, tanto porque la segunda es la doble negación de la primera, como porque la exclusión dicotómica de posibilidades crea una dicotomía absoluta y válida de la cual no es posible escapar. Como todos saben, es diferente decir “O A o B” que “O A o No-A”. La primera podría ser usada para una falsa dicotomía, pero la segunda no. Nos encontramos ante un caso de dicotomía por doble negación. Y dado que solo existe lo lógicamente posible y lo lógicamente imposible, no es posible intentar aludir a una tercera opción o una falla en las opciones. Es simplemente imposible. Y dado que ambas opciones son equivalentes, pretender que existe una confusión entre ambas, es una muestra de gran ignorancia de la lógica, las reglas y leyes que la rigen. No hay confusión alguna de parte del ateo, sino un uso indistinto de expresiones lógicamente igual de válidas para referirse a lo mismo.

Urbina, en su intento de refutación, pone el ejemplo de llegar a otro planeta de un salto. Dice que esto es lógicamente posible. Pero es totalmente falso. Un salto así es biológicamente imposible para un ser humano. Hacer un imposible, en este caso biológico, es lógicamente imposible. Primero, recordemos que las verdades fácticas priman sobre las verdades lógicas. Segundo, recordemos que las “verdades” formales se deducen de relaciones del mundo físico/material/natural y sus verdades fácticas. Tercero, recordemos también que la lógica formal no trata de verdades, sino de enunciados válidos o inválidos. Es la lógica material la que habla de verdades o falsedades, teniendo en cuenta lo fáctico. Así, usando lógica material, no hay forma de sostener que un humano pueda hacer un imposible biológico. Además, no hay ninguna ley de la lógica que nos indique que es formalmente posible hacer un imposible biológico. Así, el intento de refutación de Dante, cae en saco roto.

Analicemos esto detenidamente: La proposición de Urbina, y posteriormente del ateo, es simple: X es omnipotente si no puede ni A ni B. en este caso, X es el dios teísta, A es no poder hacer lo lógicamente imposible (o sólo poder hacer lo lógicamente posible), y B es no poder ir en contra de su naturaleza (o sólo poder actuar de acuerdo a su naturaleza). Dado que el ateo se apropia del argumento de Urbina, refutar la estructura de De Morgan de su argumento inicial de Dante no es relevante. El ateo ha realizado algo muy interesante: Ha dejado en claro que Urbina comete la falacia de “proving too much”, que en español se entiende como “conclusión desmesurada”. Esta falacia, básicamente, consiste en que un argumento y/o conclusión son inválidos por ser demasiado generales, hasta el punto de que muchas otras cosas serías válidas a partir de este, incluso algunas que no tienen nada que ver con lo el silogismo original. Esta falacia implica armar un argumento con conclusiones absurdas, y por ende, desenmascararlo es un tipo de reducción al absurdo. En este caso, la extrema generalidad que deja al descubierto el ateo es muy simple: Si el dios teísta es un ser omnipotente, entre otras cosas, porque no puede hacer lo lógicamente imposible ni actuar contra su propia naturaleza, entonces un humano también podría ser omnipotente, ya que cumple con esas mismas características. Las características señaladas son demasiado generales, y por ende, le caben válidamente al humano. Intentar salvar estas características tratando de darle alguna característica o condición especial a su dios a posteriori, es simplemente añadir características para salvarlo, y por ende, una obvia falacia de francotirador. Añadir esas características porque es un dios, es una falacia de alegato especial (que comete cuando añade “porque nuestras naturalezas no abarcan la plenitud y sustento mismo del ser”). Tratar de refutar el planteamiento del ateo aceptando solo lo segundo (que el humano no puede actuar contra su propia naturaleza), pero no lo primero (negar que el humano no pueda hacer lo lógicamente imposible, con su mal ejemplo de salto a otro planeta y su intento de confundir un término con otro, cuando son equivalentes), es una refutación inválida de antemano por violar las leyes de De Morgan.



CONCLUSIÓN

Como vemos, conocer bien las reglas de inferencia es clave para armar argumentos y refutaciones válidas. Un error común que cometen muchas personas, como Dante Urbina, es argumentar a partir de la ignorancia, siendo que al final, la formación en tópicos como este, es de suma importancia para un debate exitoso, e incluso para una charla coloquial. Es menester que la gente comience a preocuparse en serio por conocer lo suficiente de lógica y argumentación, si en verdad desea ponerse a exponer argumentos y refutaciones, so pena que, de no hacerlo, quede en completo ridículo.

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REFERENCIAS
  • DeMorgan’s Theorems. Recuperado de http://capone.mtsu.edu/phys2020/Lectures/L19-L25/L3/DeMorgan/body_demorgan.html
  • Leyes de De Morgan. Recuperado de http://r-luis.xbot.es/edigital/ed05.html
  • Leyes de De Morgan. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_De_Morgan
  • Introducción a la lógica (Copi Irving). Recuperado de https://logicaformalunah.files.wordpress.com/2017/01/irving_m-_copi_carl_cohen_introduccion_a_la_log.pdf
  • Lógica material. Recuperado de https://glosarios.servidor-alicante.com/filosofia/logica-material
  • La paradoja de la omnipotencia: Aprovechando una objeción burda para dar lugar a una comprensión más profunda. Recuperado de http://danteaurbina.com/la-paradoja-de-la-omnipotencia-aprovechando-una-objecion-burda-para-dar-lugar-a-una-comprension-mas-profunda

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